椭圆形面积公式(精选5篇)
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椭圆形面积公式范文第1篇
一、焦点三角形面积计算
结论1：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ，则SF1PF2=b2tan 。
证明：（2c）2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ
=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|（1+cosθ）
例1、已知P是椭圆 +y2=1的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=120°，则PF1F2的面积是_____。
由椭圆的焦点三角面积公式，这里θ=120°， =60°得PF1F2的面积是 3。
例2、椭圆 + =1的两个焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为 ，则PF1F2的面积为（ ）。
A、3 3B、C、16 3D、9 3
解：由三角形外角性质可得∠F1PF2= ，即θ= ，再由椭圆的焦点三角面积公式，S=b2tan =9tan =3 3。故选A。
例3、在椭圆 + =1上求一点P，使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。
解：由椭圆的焦点三角面积公式，其中θ= ，S=b2tan 20= ×2c×|x0|。
|x0|=4c=5，x0是点P的横坐标，将|x0|=4代入椭圆方程得|y0|=3，故P点的坐标为（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）。
二、焦点三角形中张角计算
结论2：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），左右两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：法1：设P（x0，y0）,由焦半径公式可知：|PF1|=a+ex0，|PF1|=a-ex0。
x0=0时cosθ最小，P为椭圆短轴的端点。
法2：设P（x0，y0）则SF1PF2= |F1F2|・|y0|=c・|y0|=b2・tantan = 。
又|y0|≤b，0< < ，y0=±b，tan 最大，即张角θ最大 ，P为椭圆短轴的端点时，张角θ最大。
由这两种方法可以说明椭圆上的点P对两焦点张角变化情况。当P在长轴右端点，θ最小为0，P在向左运动过程中，角θ随之变大，运动到短轴端点达到最大。由对称性知P再向左运动，角θ又逐渐变小，P到达长轴左端点角θ为0。当椭圆的焦点在y轴结论2同样成立。
例1、F1，F2是椭圆C： + =1的焦点在C上满足PF1F2的点P的个数为______。
解：当点P在短轴上时sin = => > ，θ> 由结论2和对称性可知点P有4个。
例2、椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。
解：
法1SF1PF2= |F1F2|・|y0|=c・|y0|=b2・tan
|y0|=a2=9，b2=4，c= 5|y0|> =,y2> 即4（1- ）>
-
法2：以F1F2为直径的圆上的点为Q时，∠F1QF2= ，于是P在以F1F2为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5。
坐标为±。
所以点P横坐标取值范围是－
例3，椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2大于 时，求点P的横坐标的取值范围。
椭圆形面积公式范文第2篇
故我把整节课的教学设计如下：
教学目标
（1）知识与技能目标：
利用祖暅原理，知道球体积公式的一种推导方法，并应用其求椭球体积；
（2）过程与方法目标：
通过对球体积公式的探求，体验数学发现和创造的历程，学会观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；
（3）情感、态度与价值观目标：
通过师生互动、生生互动共同探究的教学活动，形成学生的体验性认识，培养学生勇于探索的个性品质。
教学重点和难点
利用祖暅原理探求球体积公式。
教学过程设计
（一）
1.复暅原理及棱柱、圆柱体体积公式；
约在公元5世纪，我国数学家祖暅在研究“开立圆术”中指出“夫叠綦成立积，缘幂势既同，则积不容异”。其意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。这一论述被后人称为祖暅原理。
设计意图：数学史与数学文化融入数学教育，使数学史中的思想方法为数学教育服务。
用祖暅原理可证明：
两个等底等高的棱（圆）柱的体积相等。（图1）
2.复习棱锥、圆锥体体积公式
用祖暅原理可证明：
两个等底等高的棱（圆）锥的体积相等。（图2）
（二）新课导入
1.复习球体积公式 ，直接抛出问题：课本中已介绍过应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法。如何根据课本提示，由祖暅原理和圆柱、圆锥体的体积公式去推导球体积公式？
设计意图：开门见山地告知学生今天的学习任务，但问题较大，学生的个体差异会使部分学生找不到思考的切入点，故我设计将任务细化，在教师的指导下让学生进行探究。
2.将问题分解：
（1）选择的圆柱（锥）体与对应的球之间应有那些对应关系？
设计意图：探求圆柱（锥）体的半径与高和球体半径的等量关系，并根据对称性作出选择研究半个球的体积公式。
（2）仅选择圆柱体（或圆锥体）与对应的半球，用平行截面去截，截面之间能否保证祖暅原理中“在任意等高处的截面面积都对应相等”的要求？
设计意图：本节课的重点是“用祖暅原理为依据进行探求”，所以抓住“用平行截面去截”的关键，探求发现圆柱体在等高处的截面（除底面外）大于半球体，而圆锥体在等高处的截面（除底面外）小于半球体，大胆猜测进行大小间的“协调”。
（3）如何利用割补法探求半球体积公式？（在这个问题的教学组织上，采用让学生分组协作的合作学习方式进行）
设计意图：探求圆柱体与圆锥体在等高处的截面进行大小间的“协调”的过程，蕴涵着猜测和尝试的双过程，结论的得出必定是完成了严格的证明。
探求结果用祖暅原理求球体体积公式的做法是：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球体积公式。
说明：这里教师设计了一个容易激疑的问题情境，给学生思维以方向和动力；三个由浅入深的问题引起学生深入的思考，并且能促使学生“发现问题，作出思考，提出猜想，进行验证”等探究性的学习活动，并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥。在亲历学习过程的探究活动中丰富经历，强调合作，促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补，使学生兴趣盎然地投入探究新知的学习活动中。
3.得出球体积公式
4.反思小结、提炼数学思想：
（1）在该问题的解决过程中，我们是怎样入手的？为什么要这样设计？（依据祖暅原理）
（2）在探求过程中我们主要运用了什么方法？？（割补法）
（3）我们概括出怎样的一般性的结论？（球体积公式
）
（4）在探究过程中运用了哪些数学思想方法？（尝试、猜测、论证）
（三）应用
请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解决以下问题：
已知椭圆 ，将此椭圆绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体（图2），其体积等于______________.
设计意图：本问题的提出是球体积公式推导的类比迁移和引申拓广。在题目设计上选择了具体数据（椭圆的长轴、短轴已知）的椭球，使学生能经过自己的主动探索、实验，得到结论，这是对学生主动参与精神的激励。能使学生感悟到“面对新问题，联想旧知识，寻找新旧知识之间的关系，揭示知识规律，获取新知”的探究方法和策略，增强学生学习的动力和信心，使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中去。
（四）小结：
通过本节课学习，我们利用割补法及祖暅原理得到了球的体积公式，并初步体会了其应用；进而收获了一个特殊椭球体的体积计算方法，又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。
（五）作业：
请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解答下问题：
（1）已知椭圆 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。
（2）将此椭圆绕x轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。
作业设计意图：本问题的提出是继具体椭球体积计算后的再次拓广。在题目设计上选择了更具一般性（椭圆的长轴、短轴为a，b）的椭球，让学生对课堂上的探究延续到课后，达成进一步的反馈和巩固。
（六）课后反思：
椭圆形面积公式范文第3篇
关键词：高中数学；直线与椭圆；交点分析；位置关系
G633.6
一、椭圆的基本介绍
1.椭圆的定义
平面内的点与两个定点距离之和等于常数，该常数大于两定点之间的距离，这样的常数形成的点的轨迹叫做椭圆。而这两个定点叫做椭圆的焦点，其之间的距离叫做椭圆的焦距。
2.椭圆的标准方程式
共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）； 当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2-c^2=b^2。
3.椭圆的几何性质
关于椭圆的一些几何性质，有几个方面。当焦点在X轴时 -a≤x≤a，-b≤y≤b，当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a；椭圆的对称性，其对称中心其实就是椭圆的中心；椭圆的顶点，就是椭圆对称轴的四个交点；长轴与短轴，指的就是对称轴上两对顶点之间的线段；椭圆的离心率，指的是焦距与长轴之比，记作e，范围在0和1之间，e越接近于1，椭圆就越扁，反之越圆。
二、直线和椭圆的交点问题
直线和椭圆可以是没有交点、一个交点或两个交点，其分别体现的是直线与椭圆的相离、相切和相交。当直线和椭圆相离时，两者之间没有交点；当直线和椭圆相切时，存在一个交点，就是切点；当直线和椭圆相交时，会有两个交点，那么我们如何才能判定直线和椭圆的位置关系呢。
在探索直线和椭圆的位置问题时，主要是靠研究两者之间的交点个数进行判断，因此可以用代数的方法联立方程组求解，从而进行判定。首先，把直线方程和椭圆方程联立为方程组。其次，消去y或x得到一元二次方程。最后，计算=b^2-4ac，当>0，即表示直线和椭圆相交；当=0，直线和椭圆相离；当
三、直线和椭圆交点问题的基本运算
直线和椭圆之间涉及到很多考点，要解决两者之间的问题无非是要注意这几个方面：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在；（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程；（4）一元二次方程的判别式；（5）韦达定理，同类坐标变换；（6）同点纵横坐标变换；（7）x，y，k（斜率）的取值范围；（8）目标：弦长、中点、垂直、角度、向量、面积及范围等。接下来列举几个常见的题型，进而进行分析和解答。
1.求取值范围的问题
例如，直线和椭圆始终有交点，求椭圆方程中a或b的取值范围。
一般遇到这种情况，可以先看直线方程，找出其特点，看该直线是否过定点，同时观察椭圆的定点，初步确定所求变量的取值范围。该题的解题关键是直线和椭圆恒有公共点，从而确定题目的答案。
2.形成几何面积问题
例如，椭圆方程已知，求两焦点与椭圆y轴上的一个顶点所形成的面积。
做这种题目时，首先第一件事就是把图画出来，把需要的点都标出来。这个题目其实很简单，因为椭圆的方程式是已知的，就可以知道两个焦点的坐标，以及四个顶点的坐标，只需要进行简单的等腰三角形的求和公式的运算就可以得出答案。
3.求最小距离的问题
例如，椭圆方程已知，直线方程已知，求椭圆上是否存在一点到直线的距离最小以及最小距离为多少。
同样，第一件事是画图，将已知的内容全部画上去。假设存在一点与直线的距离最小，得出距离d的一个方程，与椭圆的方程进行联立求解，从而得出答案。从这个题目中，我们也可以得出，假如存在一个这样的点，距离d等于零的话，说明直线与椭圆相切；距离大于零，则说明直线与椭圆相离。假如存在两个点，距离d都等于零的话，说明直线与椭圆相交。
除此以外，还有其他很多关于直线和椭圆的题型，如椭圆上一点到两焦点连线的垂直问题、直线被椭圆所截得的弦长问题、求椭圆方程的问题等。但不管怎样，只要理清楚椭圆和直线所涉及的各个变量的运算方式和相关公式，要解决整个问题就不难，所谓万变不离其宗，其道理是一拥摹
四、结语
直线和椭圆之间的相关联系，一直都是高中数学教学中备受关注的，能够理清两者之间的交点问题，还是能够解决大部分的直线和椭圆之间的问题。不管是于直线和椭圆，直线和抛物线和其他曲线的解答思路都是差不多的，无非都是围绕相交、相切和相离几个因素转。因此，同学们应该重视这一方面的学习，不能在自己解决不了的问题面前止步不前，需要有耐心和坚定的信念一直走下去，那时候就会发现，其实并不是想象中的那么难走。
参考文献：
[1]张永楼.直线与椭圆位置关系判定的几何方法[J].中学数学研究，2013（10）
[2]刘绍学，章建跃.几何中的向量方法[J]. 数学通报，2004（03）
椭圆形面积公式范文第4篇
关键词：外齿轮；高阶多段变性椭圆；斜齿轮
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2016.24.002
0 前言
非圆齿轮机构是一种瞬时传动比按一定规律变化的齿轮机构。根据齿廓啮合基本定律。理论上讲，对节线的形状并没有限制，常用的曲线有：椭圆、变性椭圆以及对数螺线等。非圆齿轮是一种可精确实现非匀速传动的部件，当前应用以椭圆族非圆齿轮居多。椭圆齿轮是最为广泛应用的椭圆族非圆齿轮；在椭圆齿轮基础上保持向径不变，将极角缩小整数倍，就可演变出高阶椭圆齿轮，实现周期性传动比；将2个阶数不同（且可以不是整数）的椭圆组成连续封闭的曲线，就可以形成变性椭圆齿轮[1，2]。众所周知，椭圆齿轮副及高阶椭圆齿轮副的传动比在一个周期内是对称的，但变性椭圆齿轮副的传动比不具有对称性。文献[1]综合高阶椭圆齿轮[3]及变性椭圆齿轮[4]优点，提出高阶变性椭圆齿轮（实质为高阶二段变性椭圆齿轮），其在旋转一周的过程中，传动比曲线有多个变化周期，且在每个周期内传动比曲线均不具有对称征。
1 高阶多段变性椭圆斜齿轮设计的相关公式及推导
根据非圆齿轮理论[1]可知，对于高阶多段变性椭圆斜齿轮，当主动轮的模数、齿数、螺旋角，及、、、确定后，为了使轮齿能在节曲线上均匀分布，节曲线周长必须满足条件： ；从动轮节曲线周长为： ，式中，为从动轮阶数。另外，非圆齿轮节曲线周长为
联立式以上式子，采用matlab的quadl（L， 0，π/2，tol）命令进行数值积分，即可确定主动轮长半轴。
对主动轮1和从动轮2构成的非圆外啮合齿轮副，传动比为：
至此，已完全推导出了高阶多段变性椭圆斜齿轮封闭条件的简化算法。
2 结论
通过变积分运算为四则运算的方法大大降低了求解外啮合高阶多段变性椭圆斜齿轮封闭条件的难度，提高了外啮合高阶多段变性椭圆斜齿轮的设计效率。
参考文献：
[1]吴宗泽，罗圣国.机械设计课程设计手册[M].北京：高等教育出版社，1999.
[2]曾正明.机械工程材料手册：金属材料[M].北京：机械工业出版社，2003.
[3]刘生林，黄先祥，吴序堂.用三次样条进行非圆齿轮节曲线设计的研究[J].机械传动，1999，（5）：20-21.
[4]刘永平，孟鹏飞.基于MATLAB的高阶椭圆齿轮副节曲线的设计[J].计算机应用技术，2010，37，（2）：39-4
椭圆形面积公式范文第5篇
关键词:椭圆、定义、应用
学习数学离不开数学定义的学习,而数学中的定义反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,对它们理解正确与否,会直接影响到数学公式、法则、定理的学习。椭圆学习过程中,我们学习了椭圆的第一定义和第二定义。
椭圆第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。
椭圆第二定义:到一定点与一定直线的距离之比等于定值(这个定值小于1)的点的集合为一椭圆(平面内到定点与到定直线的距离的比是常数e(e>0)的点的轨迹,当0
椭圆的定义在解题过程中有很重要的作用,正确地理解和使用,可以化繁为简,达到事半功倍的效果。下面是椭圆定义在数学解题中常见的应用。
一、 解方程
例1、■+■=20
分析:如果经过两次平方将两个根式的根号去掉求解,运算太繁杂,容易出错,浪费时间。观察两个根式,发现其特点,我们可将式子化■+■=20,令y2=4为则方程可看做是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,长轴长为20的椭圆,原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。即:
■+■=1且y2=4.解得x=±■
二、求轨迹问题
例2:在ABC中,BC=24,AC、BA边上的两条中线之和为39,求ABC的重心的轨迹方程。
解:如图所示,以BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。
设ABC的重心G,由已知的|BD|+|CE|=39,由重心性质
|BG|=■|BD|,|CG|=■|CE|
■|BG|+■|CG|=39即|BG|+|CG|=26
又BC=24,26>BC。故重心G的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去与直线BC的两个交点)。其方程为■+■=1(y≠0)。
点评:本题综合考察了椭圆的定义、重心的性质等知识。利用椭圆的定义求动点的轨迹是求轨迹问题中常用的解题方法。
三、求焦点三角形的面积
例3:已知:P点为椭圆■+■=1
上的点,F■,F■是椭圆的两个焦点,∠F■PF■=60°,求F■PF■的面积。
解:在椭圆■+■=1中,a=5,b=3c=4
点P在椭圆上,
|PF■|+|PF■|=10 (1)
在F■PF■中,由余弦定理得:
|PF■|■+|PF■|■-2|PF■||PF■|cos60°=64 (2)
(1)■-(2)得|PF■||PF■|=12,
S■=■|PF■||PF■|sin60°
=■×12×■=3■
点评:关于椭圆中的焦点三角形问题,常常用椭圆的定义,结合三角形中的正弦定理、余弦定理等来解决,本题中把|PF■||PF■|作为一个整体来求,减少了运算量,这种整体求解,整体代入的方法值得我们认真体会。
四、求离心率
例4、已知P是椭圆■+■=1(a>b>0)
上任意一点,F■,F■是两个焦点,若
∠PF■F■=α,∠PF■F■=β求e。
解:PF■F■中,由正弦定理有■=■=■?坜■
=■?坜e=■=■
五、判断方程表示的曲线
例5、已知■=■|x+y-2|,x∈R,y∈R试判断点M的轨迹是怎样的曲线。
分析:如果将原方程平方,化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线,注意式子结构的特点,左边可看成点M到点(2,0)的距离,从而可联想右边可化为点M到直线x+y-2=0的距离,即有■=■,由此联想到椭圆的第二定义就很简单的求出点M的轨迹是椭圆。
六、求参数的取值范围
例6、(2004年高考,全国卷Ⅲ)设椭圆
■+y■=1的两个焦点是F■(-c,0),F■(c,0),(c>0)且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直,求m的取值范围。
解:由题意知m>0,a=■,b=1,c=■,且|PF■|■+|PF■|■=|F■F■|■=4c■,|PF■|+|PF■|=2a,由两式可得,|PF■|・|PF■|=2a■-2c■=2b■,又
|PF■|・|PF■|≤■)■=a■,
所以2b■≤a■,即2≤m+1,所以m≥1
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